Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La multiplicación de Karatsuba cumple T(n) = 3T(n/2) + O(n). ¿Cuál es la solución?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
  4. DΘ(n3)
3.Estructuras de datosMedia

Una tabla hash de tamaño 7 usa h(k) = k mod 7 y sondeo lineal. Después de insertar 10, ¿dónde se almacena 17?

  1. AEn el índice 3
  2. BEn el índice 0
  3. CEn el índice 4
  4. DEn el índice 6
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALas claves iguales deben tener valores hash iguales
  2. BLas claves distintas deben tener valores hash distintos
  3. CValores hash iguales implican claves iguales
  4. DLos valores hash deben ser números primos
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 7 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 7|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
14516122197911ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585

Por qué esta es la respuesta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, dominan las hojas según el teorema maestro, lo que supera al método escolar O(n²).

Respuesta

C · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · En el índice 4

Por qué esta es la respuesta

10 mod 7 = 3 y 17 mod 7 = 3; el índice 3 está ocupado, así que el sondeo lineal prueba la posición siguiente, el índice 4.

Respuesta

C · En el índice 4
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

7 − 1 = 6

Aristas que quitar

k = 17 − 6 = 11

Respuesta

k = 11
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 48

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

EF (2): tomar
BD (5): tomar
GC (7): tomar
GD (9): tomar
GE (11): tomar
DF (12): descartar, cierra un ciclo
AC (14): tomar

Peso total

W = 2 + 5 + 7 + 9 + 11 + 14 = 48

Respuesta

W = 48

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