Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que no son polinómicos
  2. BProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
  3. CProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  4. DProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AMatriz de adyacencia
  2. BUn montículo binario de aristas
  3. CUn único arreglo ordenado de vértices
  4. DLista de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1411101778191643ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice D. Haz clic en la arista que añade como arista número 6.

inicio: Dk = 6
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista GB
  9. 9arista GC
  10. 10arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

B · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

B · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

D · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

B · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 16

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 28 = 2(L + 7) − 2
L = 16

Respuesta

L = 16

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista AC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. DE (7)
2. GE (3)
3. GC (4)
4. DF (8)
5. BC (10)
6. AC (11)

arista número 6

AC

Respuesta

arista AC

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