Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es el tiempo de ejecución del radix sort LSD sobre n enteros de d dígitos en base k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  2. BTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  3. CEl problema de la parada es indecidible
  4. DP no es igual a NP
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h + 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Estructuras de datosDifícil

Debes conservar los k valores más pequeños de un flujo de n números usando O(k) de memoria. ¿Qué enfoque funciona en un tiempo O(n log k)?

  1. AUn max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
  2. BUn min-heap que contiene los n valores, del que se extraen al final los k menores
  3. CUn arreglo ordenado con los n valores
  4. DUna cola FIFO con los últimos k valores
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1165686314ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(d(n + k))

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las d pasadas es un ordenamiento por cuentas de coste O(n + k), así que, con d y k fijos, el total es lineal en n.

Respuesta

A · O(d(n + k))
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

A · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 2h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

A · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor

Por qué esta es la respuesta

La raíz del max-heap es el mayor valor conservado; cualquier valor nuevo menor la sustituye en O(log k), así que el montículo siempre contiene los k menores vistos hasta el momento.

Respuesta

A · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

C, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 15

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 11, C: 6
C (6): E: 12
B (11)
E (12): D: 20, F: 15
F (15)
D (20)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 15

Respuesta

d(F) = 15

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