Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  2. BEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
  3. CLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
  4. DEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la diferencia entre un problema indecidible y uno intratable?

  1. AAmbos significan que el problema no tiene ningún algoritmo
  2. BLos problemas intratables no pueden resolverse con ningún algoritmo, mientras que los indecidibles solo necesitan tiempo exponencial
  3. CLos problemas indecidibles están en NP, mientras que los intratables están en P
  4. DUn problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué recorrer un arreglo suele ser en la práctica mucho más rápido que recorrer una lista enlazada de la misma longitud?

  1. ALos arreglos usan menos instrucciones para comparar valores
  2. BLos elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
  3. CRecorrer un arreglo es O(1) en total, mientras que recorrer una lista enlazada es O(n)
  4. DLas listas enlazadas siempre almacenan los elementos en disco
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. ASu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
  2. BAlmacenan los datos sin ordenar
  3. CUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  4. DNo necesitan rebalanceo
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
12733142114ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

D · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento

Por qué esta es la respuesta

El problema de la parada no tiene ningún algoritmo; un problema NP-difícil como el del viajante puede resolverse por fuerza bruta, solo que no en un tiempo polinómico conocido.

Respuesta

D · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU

Por qué esta es la respuesta

La memoria contigua ofrece una buena localidad de referencia, mientras que los nodos enlazados pueden estar dispersos y provocar muchos fallos de caché.

Respuesta

B · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 18

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Respuesta

L = 18

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 12
C (12): B: 19, E: 15
E (15): D: 29, F: 26
B (19): D: 22
D (22): F: 24
F (24)

Camino más corto

A → C → B → D → F
d(F) = 24

Respuesta

d(F) = 24

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