Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La programación dinámica es útil cuando un problema tiene:

  1. ANingún subproblema en absoluto, así que puede resolverse en un solo paso
  2. BSubproblemas superpuestos y subestructura óptima
  3. CUn único bucle
  4. DSolo entradas aleatorias
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir siempre el primer elemento
  2. BElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  3. COrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  4. DUsar recursión solo en el lado izquierdo
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en postorden?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Estructuras de datosDifícil

Para cada elemento de un arreglo quieres el siguiente elemento mayor a su derecha, en un tiempo total O(n). ¿Qué estructura ayuda?

  1. AUn árbol binario de búsqueda reconstruido para cada elemento
  2. BUna tabla hash con todos los elementos
  3. CUna pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
  4. DUna cola que contiene todos los pares de elementos
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 31 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 31
k =
6.Teoría de grafosDifícil
6710191151429ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima

Por qué esta es la respuesta

Guardar los resultados de los subproblemas superpuestos (memoización o tabulación) evita trabajo repetido y convierte algoritmos exponenciales en polinómicos.

Respuesta

B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

B · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 4 5 2 3 1

Por qué esta es la respuesta

El postorden procesa 4 y 5 antes que 2, luego 3 y, por último, la raíz 1.

Respuesta

B · 4 5 2 3 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta

Por qué esta es la respuesta

Recorriendo de izquierda a derecha, se desapila cada elemento de la pila menor que el actual (el actual es su respuesta) y luego se apila este; cada elemento se mueve como máximo dos veces.

Respuesta

C · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 31 − 19 = 12

Respuesta

k = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 48

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

GD (2): tomar
DF (5): tomar
AB (6): tomar
AC (7): tomar
GE (9): tomar
BC (10): descartar, cierra un ciclo
DE (11): descartar, cierra un ciclo
EF (14): descartar, cierra un ciclo
CE (19): tomar

Peso total

W = 2 + 5 + 6 + 7 + 9 + 19 = 48

Respuesta

W = 48

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