Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BBellman-Ford es necesario en todos los casos
  3. CBúsqueda en profundidad (DFS)
  4. DAlgoritmo de Kruskal
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AUsar recursión solo en el lado izquierdo
  2. BOrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  3. CElegir siempre el primer elemento
  4. DElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura de datos permite una caché LRU (least recently used) con get y put en O(1)?

  1. AUn mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
  2. BSolo una pila
  3. CUn único arreglo ordenado
  4. DSolo un árbol binario de búsqueda
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
12713189164ABCDE

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

A · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

D · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

C · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

El mapa hash encuentra los nodos en O(1) y la lista doblemente enlazada mueve los elementos accedidos al frente y expulsa por el final en O(1).

Respuesta

A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Vértices impares

D, F → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 36

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BE (4): tomar
AC (7): tomar
CE (9): tomar
AB (12): descartar, cierra un ciclo
BC (13): descartar, cierra un ciclo
DE (16): tomar

Peso total

W = 4 + 7 + 9 + 16 = 36

Respuesta

W = 36

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