Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 1,000
  2. BUnas 100
  3. CUnas 500,000
  4. DUnas 20
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase P es correcta?

  1. AProblemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
  2. BProblemas cuyas soluciones pueden comprobarse, pero nunca hallarse, en tiempo polinómico
  3. CProblemas que pueden resolverse en paralelo
  4. DProblemas que necesitan tiempo exponencial en cualquier ordenador
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BEn el índice 2i + 1
  3. CEn el índice i − 1
  4. DEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. ASu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
  2. BNo necesitan rebalanceo
  3. CAlmacenan los datos sin ordenar
  4. DUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 16 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 16|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
148121377119210ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

D · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

P contiene los problemas de decisión con un algoritmo determinista de tiempo polinómico, como comprobar si un grafo es conexo.

Respuesta

A · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

D · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 2

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

16 − 1 = 15

Aristas que quitar

k = 17 − 15 = 2

Respuesta

k = 2
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 26

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 14, C: 8
C (8): E: 15
B (14): D: 27, G: 23
E (15): D: 22, F: 26
D (22)
G (23)
F (26)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 26

Respuesta

d(F) = 26

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