Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ATodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  2. BEl problema de la parada se volvería decidible
  3. CTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  4. DSolo ese problema pasaría a P
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué podría un servidor elegir su función hash al azar de entre una familia universal?

  1. APara que la tabla hash quede ordenada
  2. BPara eliminar la necesidad de redimensionar la tabla
  3. CPara que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
  4. DPara garantizar que dos claves nunca puedan colisionar, sean cuales sean las claves que envíe un atacante
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
210634112411ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

B · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas

Por qué esta es la respuesta

Con hashing universal, el número esperado de colisiones es pequeño para cualquier conjunto de claves, ya que el atacante no sabe qué función se eligió.

Respuesta

C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices impares

C, D, E, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 7

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 2, C: 10
B (2): C: 8, D: 5, E: 13
D (5): F: 7
F (7): E: 11
C (8)
E (11)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 7

Respuesta

d(F) = 7

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