Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La multiplicación de Karatsuba cumple T(n) = 3T(n/2) + O(n). ¿Cuál es la solución?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
  2. BSe reconstruye todo el montículo desde cero
  3. CSe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
  4. DSe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
4.Estructuras de datosDifícil

En el algoritmo de Kruskal para el árbol de expansión mínima, ¿para qué se usa la estructura union-find?

  1. APara ordenar las aristas por peso
  2. BPara comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
  3. CPara elegir el vértice inicial
  4. DPara almacenar la distancia actual de cada vértice al origen durante la búsqueda
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 4, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 4
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de D a E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

D · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585

Por qué esta es la respuesta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, dominan las hojas según el teorema maestro, lo que supera al método escolar O(n²).

Respuesta

B · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

A · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados

Por qué esta es la respuesta

Find indica si ambos extremos están en la misma componente; si no lo están, se añade la arista y union fusiona las componentes.

Respuesta

B · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Respuesta

N = 1

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