Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Ordenas una vez un array de n elementos y después respondes a k consultas de pertenencia con búsqueda binaria. ¿Cuál es el coste total?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(nk)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. ATodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  2. BEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  3. CP no es igual a NP
  4. DEl problema de la parada es indecidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. AEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
  2. BLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
  3. CTodas las claves de un montículo son iguales
  4. DLos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución de la búsqueda en anchura en un grafo con V vértices almacenado como matriz de adyacencia?

  1. AO(V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V²)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n log n + k log n)

Por qué esta es la respuesta

Ordenar cuesta O(n log n) y cada consulta O(log n); esto supera a k recorridos lineales (O(nk)) cuando k es grande.

Respuesta

A · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

A · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Cada uno de los V vértices recorre una fila de V entradas, lo que da O(V²); con listas de adyacencia, BFS es O(V + E).

Respuesta

D · O(V²)
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 1

Vértices impares

B, D, F, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 3

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Respuesta

N = 3

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