Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un algoritmo voraz (greedy):

  1. ASiempre da la solución óptima
  2. BPrueba todas las soluciones posibles
  3. CSolo usa recursión
  4. DToma la mejor decisión local en cada paso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda media en una tabla hash es O(1) pero el peor caso es O(n)?

  1. ALos arrays tienen acceso O(n)
  2. BLas claves deben ordenarse primero
  3. CMuchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
  4. DLas funciones hash son lentas
3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

  1. A70
  2. B40
  3. C20
  4. D50
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución de la búsqueda en anchura en un grafo con V vértices almacenado como matriz de adyacencia?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V)
  4. DO(E log V)
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
13111413102112ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Toma la mejor decisión local en cada paso

Por qué esta es la respuesta

Los algoritmos voraces son rápidos y óptimos para algunos problemas (p. ej., Dijkstra, codificación de Huffman), pero no en general (p. ej., el problema del cambio con algunos sistemas de monedas).

Respuesta

D · Toma la mejor decisión local en cada paso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

Por qué esta es la respuesta

Con una buena función hash y un factor de carga adecuado, los buckets se mantienen cortos en promedio; un hashing malicioso o deficiente puede poner todas las claves en un mismo bucket.

Respuesta

C · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

C · 20
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Cada uno de los V vértices recorre una fila de V entradas, lo que da O(V²); con listas de adyacencia, BFS es O(V + E).

Respuesta

B · O(V²)
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 13, C: 11
2. C (11)
3. B (13): D: 26, E: 15
4. E (15): D: 25, F: 26
5. D (25)
6. F (26)

ronda 4

E

Respuesta

E

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