Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  2. BDe calidad desconocida respecto al óptimo
  3. CComo mucho log n veces el mínimo
  4. DSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUna cola de tamaño fijo
  2. BUn recorrido de grafo
  3. CUn árbol binario de búsqueda
  4. DUna función hash
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué problema del sondeo lineal reduce principalmente el doble hashing?

  1. AEl agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
  2. BEl coste O(n) de leer el valor de una clave
  3. CLa necesidad de almacenar las claves en la tabla
  4. DLa necesidad de una función hash
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
313816893638ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

B · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

A · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas

Por qué esta es la respuesta

El sondeo lineal avanza de 1 en 1, así que las secuencias ocupadas crecen y se fusionan; el doble hashing usa un segundo hash para el tamaño del salto, de modo que claves distintas sondean secuencias distintas.

Respuesta

A · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 13
B (3): C: 11, D: 4, G: 6
D (4): E: 12
G (6)
C (11)
E (12): F: 21
F (21)

Camino más corto

A → B → D → E → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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