Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. ATodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  2. BEl problema puede resolverse en tiempo constante
  3. CEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  4. DUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
  4. DΘ(n² log n)
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en postorden?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D5 4 3 2 1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué garantía dan las reglas del árbol rojo-negro sobre la altura de un árbol con n claves?

  1. ALa altura es como máximo n / 2
  2. BLa altura es como máximo 2 log2(n + 1)
  3. CLa altura es como máximo log2 n + 1
  4. DLa altura es exactamente log2 n
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
3213131415142ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

D · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, nlog₂ 7 domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n2,81.

Respuesta

C · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 4 5 2 3 1

Por qué esta es la respuesta

El postorden procesa 4 y 5 antes que 2, luego 3 y, por último, la raíz 1.

Respuesta

C · 4 5 2 3 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los caminos tienen el mismo número de nodos negros y los nodos rojos no pueden ser adyacentes, así que el camino más largo es como mucho el doble del más corto, lo que da una altura O(log n).

Respuesta

B · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 21

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 43 = 2(L + 12) − 2
L = 21

Respuesta

L = 21

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 19

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 2
C (2)
B (3): D: 16, E: 5
E (5): F: 19
D (16)
F (19)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 19

Respuesta

d(F) = 19

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