Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  2. BElegir siempre el primer elemento
  3. COrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  4. DUsar recursión solo en el lado izquierdo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria utiliza una matriz de adyacencia para un grafo con V vértices?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. AEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  2. BSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
  3. COrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  4. DNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
11157416101283186ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

B · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Una matriz de adyacencia almacena V × V entradas, lo cual es eficiente para grafos densos; las listas de adyacencia usan O(V + E), mejor para grafos dispersos.

Respuesta

B · O(V²)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 41

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

GC (3): tomar
BD (4): tomar
GE (6): tomar
BC (7): tomar
GB (8): descartar, cierra un ciclo
DF (10): tomar
AB (11): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 6 + 7 + 10 + 11 = 41

Respuesta

W = 41

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