Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué calcula el algoritmo de Floyd-Warshall y con qué rapidez?

AUn árbol de expansión mínima en O(E log V)
BLos caminos más cortos desde un vértice origen hasta todos los demás en O(V + E)
CUn orden topológico en O(V²)
DLos caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

ALa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
BEn ninguna de las dos
CLa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
DEn ambas variantes

3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuánto se tarda en buscar una clave arbitraria en un min-heap binario de n elementos?

AO(log log n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n)

5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 54 × deg 2

L =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

Por qué esta es la respuesta

Floyd-Warshall es un algoritmo de programación dinámica que permite por turnos que cada vértice sea punto intermedio, con un tiempo O(V³).

Respuesta

D · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

C · 20

4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Un montículo no da ninguna regla sobre qué subárbol contiene una clave, así que en el peor caso hay que revisar todos los nodos; solo el mínimo se encuentra rápido.

Respuesta

D · O(n)

5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 18 = 2(L + 6) − 2

L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 7

C (7): B: 11, E: 20

B (11): D: 12

D (12): E: 13, F: 24

E (13): F: 20

F (20)

Camino más corto

A → C → B → D → E → F

d(F) = 20

Respuesta

d(F) = 20

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