Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  2. BOrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  3. CElegir siempre el primer elemento
  4. DUsar recursión solo en el lado izquierdo
3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

  1. A1
  2. B2
  3. CNo hay máximo
  4. D0,5
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución de la búsqueda en anchura en un grafo con V vértices almacenado como matriz de adyacencia?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de B a A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

A · 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Cada uno de los V vértices recorre una fila de V entradas, lo que da O(V²); con listas de adyacencia, BFS es O(V + E).

Respuesta

B · O(V²)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 18

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

Respuesta

L = 18

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)BA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 = 1

Respuesta

N = 1

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