Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Usando el teorema maestro, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) tiene como solución:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AMatriz de adyacencia
  2. BUn montículo binario de aristas
  3. CUn único arreglo ordenado de vértices
  4. DLista de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

Debes conservar los k valores más pequeños de un flujo de n números usando O(k) de memoria. ¿Qué enfoque funciona en un tiempo O(n log k)?

  1. AUna cola FIFO con los últimos k valores
  2. BUn arreglo ordenado con los n valores
  3. CUn min-heap que contiene los n valores, del que se extraen al final los k menores
  4. DUn max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de B a C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(n³)

Por qué esta es la respuesta

log₂ 8 = 3, y n² crece más despacio que n³, así que dominan las hojas: Θ(n³).

Respuesta

C · Θ(n³)
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

D · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor

Por qué esta es la respuesta

La raíz del max-heap es el mayor valor conservado; cualquier valor nuevo menor la sustituye en O(log k), así que el montículo siempre contiene los k menores vistos hasta el momento.

Respuesta

D · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms