Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es el tiempo de ejecución del radix sort LSD sobre n enteros de d dígitos en base k?

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre seleccionar el k-ésimo elemento más pequeño de un array no ordenado es correcta?

  1. ALa selección siempre necesita Ω(n log n) porque requiere ordenar
  2. BQuickselect se ejecuta en O(log n) en el peor caso, porque solo hace recursión en un lado del pivote
  3. CQuickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
  4. DLa selección solo es posible en O(n²)
3.Estructuras de datosMedia

Un recorrido en orden (in-order) de un árbol binario de búsqueda visita las claves en:

  1. AOrden ascendente
  2. BSiempre orden descendente
  3. COrden de inserción
  4. DOrden por niveles
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. AUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  2. BNo necesitan rebalanceo
  3. CAlmacenan los datos sin ordenar
  4. DSu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
11219112822515ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(d(n + k))

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las d pasadas es un ordenamiento por cuentas de coste O(n + k), así que, con d y k fijos, el total es lineal en n.

Respuesta

B · O(d(n + k))
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

Por qué esta es la respuesta

El trabajo esperado de quickselect es n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivotes aleatorios; elegir como pivote una mediana de medianas hace lineal el peor caso.

Respuesta

C · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Orden ascendente

Por qué esta es la respuesta

Visitar el subárbol izquierdo, luego el nodo y luego el subárbol derecho produce las claves del BST ordenadas.

Respuesta

A · Orden ascendente
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

D · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices impares

E, F → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 8

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 1
C (1): B: 13, E: 10, G: 3
G (3): B: 5, D: 8
B (5): D: 6
D (6): F: 8
F (8)
E (10)

Camino más corto

A → C → G → B → D → F
d(F) = 8

Respuesta

d(F) = 8

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