Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué suele omitirse la base del logaritmo en la notación O grande, como en O(log n)?

  1. ALos logaritmos siempre se redondean a enteros
  2. BLos logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante
  3. CTodos los logaritmos en informática tienen base 10, así que va implícita
  4. DLa base solo importa para n pequeño
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Los caminos simples más cortos pueden hallarse en tiempo polinómico. ¿Qué se sabe de hallar el camino simple más largo entre dos vértices en un grafo general?

  1. ASiempre puede resolverse en O(V + E)
  2. BEs NP-difícil
  3. CPuede resolverse con el algoritmo de Dijkstra con los pesos cambiados de signo
  4. DEs indecidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna cola
  2. BSolo una tabla hash
  3. CUn montículo
  4. DUna pila
4.Estructuras de datosDifícil

El algoritmo de Kahn para la ordenación topológica elimina repetidamente los vértices con grado de entrada 0. ¿Qué estructura contiene esos vértices?

  1. AUna matriz de adyacencia que registra qué vértices ya se han eliminado
  2. BUna pila de todas las aristas visitadas
  3. CUn max-heap ordenado por grado de salida
  4. DUna cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 18 vértices y 21 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 18|E| = 21
k =
6.Teoría de grafosDifícil
210121541311ABCDE

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante

Por qué esta es la respuesta

Cambiar la base multiplica el logaritmo por una constante, y la notación O grande ignora los factores constantes.

Respuesta

B · Los logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

Un camino simple más largo de longitud V − 1 es un camino hamiltoniano, un problema NP-completo; en grafos dirigidos acíclicos, en cambio, puede resolverse en tiempo lineal.

Respuesta

B · Es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

D · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0

Por qué esta es la respuesta

Los vértices listos se guardan en una cola; eliminar uno reduce el grado de entrada de sus vecinos, y los que llegan a 0 se añaden, lo que da un tiempo O(V + E).

Respuesta

D · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 4

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

18 − 1 = 17

Aristas que quitar

k = 21 − 17 = 4

Respuesta

k = 4
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 29

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AB (2): tomar
CE (4): tomar
AC (10): tomar
BE (11): descartar, cierra un ciclo
BC (12): descartar, cierra un ciclo
DE (13): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 10 + 13 = 29

Respuesta

W = 29

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