Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La programación dinámica es útil cuando un problema tiene:

  1. AUn único bucle
  2. BSubproblemas superpuestos y subestructura óptima
  3. CNingún subproblema en absoluto, así que puede resolverse en un solo paso
  4. DSolo entradas aleatorias
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. AEn ninguna de las dos
  2. BEn ambas variantes
  3. CLa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  4. DLa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. A1
  2. Bn (se convierte en una lista enlazada)
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura de datos permite una caché LRU (least recently used) con get y put en O(1)?

  1. AUn único arreglo ordenado
  2. BUn mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
  3. CSolo un árbol binario de búsqueda
  4. DSolo una pila
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 11 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 11|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
541910121718137ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 2; las aristas descartadas no cuentan.

k = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF
  9. 9arista GB

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima

Por qué esta es la respuesta

Guardar los resultados de los subproblemas superpuestos (memoización o tabulación) evita trabajo repetido y convierte algoritmos exponenciales en polinómicos.

Respuesta

B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

B · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

El mapa hash encuentra los nodos en O(1) y la lista doblemente enlazada mueve los elementos accedidos al frente y expulsa por el final en O(1).

Respuesta

B · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

11 − 1 = 10

Aristas que quitar

k = 17 − 10 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista AB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. AC (4)
2. AB (5)
3. GB (7)
4. BD (10)
5. CE (12)
6. EF (13)

arista número 2

AB

Respuesta

arista AB

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