Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 1,000
  2. BUnas 500,000
  3. CUnas 100
  4. DUnas 20
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ASe ha demostrado que P ≠ NP
  2. BTodo problema de P también está en NP
  3. CNP significa «no polinómico»
  4. DLas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
  2. BSe reconstruye todo el montículo desde cero
  3. CSe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
  4. DSe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 15 vértices y 20 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 15|E| = 20
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en F? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

D · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

B · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

A · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

B · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

15 − 1 = 14

Aristas que quitar

k = 20 − 14 = 6

Respuesta

k = 6
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vecinos comunes

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Respuesta

N = 1

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