Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Es correcto decir que un algoritmo O(n²) también es O(n³)?

  1. ANo, porque n³ es menor que n² para n grande
  2. BSí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
  3. CNo, porque O grande debe dar siempre el ritmo de crecimiento exacto de la función
  4. DSí, pero solo si n es menor que 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Los caminos simples más cortos pueden hallarse en tiempo polinómico. ¿Qué se sabe de hallar el camino simple más largo entre dos vértices en un grafo general?

  1. AEs NP-difícil
  2. BSiempre puede resolverse en O(V + E)
  3. CPuede resolverse con el algoritmo de Dijkstra con los pesos cambiados de signo
  4. DEs indecidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. Cn (se convierte en una lista enlazada)
  4. D1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad mantiene perfectamente equilibrado todo árbol B?

  1. ALas claves solo se almacenan en la raíz
  2. BTodas las hojas están a la misma profundidad
  3. CCada nodo tiene exactamente dos hijos
  4. DCada nodo almacena una clave
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K6? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K6
H =
6.Teoría de grafosDifícil
1101111591115613ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³

Por qué esta es la respuesta

O grande es una cota superior, así que la afirmación es cierta pero no ajustada; Θ(n²) indica el ritmo de crecimiento exacto.

Respuesta

B · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

Un camino simple más largo de longitud V − 1 es un camino hamiltoniano, un problema NP-completo; en grafos dirigidos acíclicos, en cambio, puede resolverse en tiempo lineal.

Respuesta

A · Es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

C · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todas las hojas están a la misma profundidad

Por qué esta es la respuesta

Los nodos se dividen hacia arriba cuando están llenos y el árbol solo gana altura cuando se divide la raíz, así que todas las hojas permanecen siempre en el mismo nivel.

Respuesta

B · Todas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 17

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 1, C: 10
B (1): D: 12, G: 2
G (2): C: 7, D: 8, E: 15
C (7)
D (8): E: 13, F: 17
E (13)
F (17)

Camino más corto

A → B → G → D → F
d(F) = 17

Respuesta

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms