Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal amortizada de añadir al final de un array dinámico que duplica su capacidad cuando está lleno?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ASí, así que la cota inferior es errónea
  2. BSí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
  3. CNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  4. DNo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos se usa para comprobar si los paréntesis de "{[()]}" están equilibrados?

  1. AUna pila
  2. BUn árbol binario de búsqueda
  3. CUna cola
  4. DUna tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

La estructura union-find (conjuntos disjuntos) con unión por rango y compresión de caminos tiene un coste amortizado por operación de:

  1. AExactamente O(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
  4. DO(n)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 8 vértices y 8 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 8|E| = 8
k =
6.Teoría de grafosDifícil
27911751115ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos se copian solo en potencias de dos; repartido entre todas las inserciones, el coste medio por inserción es constante.

Respuesta

B · O(1)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila

Por qué esta es la respuesta

Se hace push de cada paréntesis de apertura y pop cuando aparece uno de cierre; este debe coincidir con el que se saca y la pila debe quedar vacía al final.

Respuesta

A · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

Por qué esta es la respuesta

Con ambas optimizaciones, las operaciones tardan O(α(n)) en tiempo amortizado; α(n) ≤ 4 para cualquier n realista.

Respuesta

C · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

8 − 1 = 7

Aristas que quitar

k = 8 − 7 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 2, C: 7
B (2): D: 13
C (7): E: 14
D (13): F: 24
E (14)
F (24)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 24

Respuesta

d(F) = 24

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