Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un algoritmo voraz (greedy):

  1. ASolo usa recursión
  2. BToma la mejor decisión local en cada paso
  3. CPrueba todas las soluciones posibles
  4. DSiempre da la solución óptima
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el coste amortizado de incrementar un contador binario, sabiendo que un incremento puede cambiar muchos bits?

  1. AO(1) por incremento
  2. BO(n) por incremento
  3. CO(log n) por incremento
  4. DO(n log n) por incremento
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos se usa para comprobar si los paréntesis de "{[()]}" están equilibrados?

  1. AUna pila
  2. BUn árbol binario de búsqueda
  3. CUna tabla hash
  4. DUna cola
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué par de recorridos determina siempre un único árbol binario con claves distintas?

  1. APreorden y en orden
  2. BSolo el recorrido por niveles
  3. CPreorden y postorden
  4. DSolo el preorden
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 23 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 23
k =
6.Teoría de grafosDifícil
715151511159ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Toma la mejor decisión local en cada paso

Por qué esta es la respuesta

Los algoritmos voraces son rápidos y óptimos para algunos problemas (p. ej., Dijkstra, codificación de Huffman), pero no en general (p. ej., el problema del cambio con algunos sistemas de monedas).

Respuesta

B · Toma la mejor decisión local en cada paso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(1) por incremento

Por qué esta es la respuesta

En n incrementos, el bit i cambia unas n / 2ⁱ veces, así que el total es menor que 2n cambios, una media de O(1) por incremento.

Respuesta

A · O(1) por incremento
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila

Por qué esta es la respuesta

Se hace push de cada paréntesis de apertura y pop cuando aparece uno de cierre; este debe coincidir con el que se saca y la pila debe quedar vacía al final.

Respuesta

A · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Preorden y en orden

Por qué esta es la respuesta

El preorden da la raíz, y su posición en la secuencia en orden separa los subárboles izquierdo y derecho; preorden con postorden es ambiguo cuando un nodo tiene un solo hijo.

Respuesta

A · Preorden y en orden
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 23 − 13 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 7, C: 15
2. B (7): C: 8, D: 12, E: 16
3. C (8)
4. D (12): F: 23
5. E (16)
6. F (23)

ronda 4

D

Respuesta

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms