Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo de ordenación es estable?

  1. AOrdenamiento por selección (versión habitual)
  2. BQuicksort (versión in situ habitual)
  3. CHeap sort
  4. DMerge sort
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  2. BNo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  3. CSí, porque ambos son exponenciales
  4. DSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. AEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
  2. BLos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
  3. CLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
  4. DTodas las claves de un montículo son iguales
4.Estructuras de datosDifícil

Debes conservar los k valores más pequeños de un flujo de n números usando O(k) de memoria. ¿Qué enfoque funciona en un tiempo O(n log k)?

  1. AUn max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
  2. BUna cola FIFO con los últimos k valores
  3. CUn min-heap que contiene los n valores, del que se extraen al final los k menores
  4. DUn arreglo ordenado con los n valores
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
1411121313711595ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(D) del camino más corto de A a D en el grafo ponderado.

inicio: Afin: D
d(D) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Merge sort

Por qué esta es la respuesta

Merge sort es estable si, en caso de empate, la mezcla toma primero de la mitad izquierda. Quicksort in situ, heap sort y el ordenamiento por selección no suelen ser estables.

Respuesta

D · Merge sort
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

B · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

A · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor

Por qué esta es la respuesta

La raíz del max-heap es el mayor valor conservado; cualquier valor nuevo menor la sustituye en O(log k), así que el montículo siempre contiene los k menores vistos hasta el momento.

Respuesta

A · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(D) = 27

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 14, C: 11
C (11): E: 24
B (14): D: 27, G: 29
E (24)
D (27): F: 28
F (28)
G (29)

Camino más corto

A → B → D
d(D) = 27

Respuesta

d(D) = 27

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