Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un quicksort usa siempre el primer elemento como pivote. ¿Con qué entrada muestra su comportamiento de peor caso?

  1. AUn array con todos sus elementos distintos
  2. BUn array que ya está ordenado
  3. CUn array en orden aleatorio
  4. DUn array de longitud 2
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué cota es correcta para log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ASe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  2. BSe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
  3. CSolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
  4. DLas claves existentes se ordenan en su sitio
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. ABúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
  2. BBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
  3. CNo usa memoria adicional
  4. DAlmacena las claves sin orden
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
5215171861313ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 4; las aristas descartadas no cuentan.

k = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista BC
  3. 3arista CE
  4. 4arista DE
  5. 5arista DF
  6. 6arista EF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GD

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un array que ya está ordenado

Por qué esta es la respuesta

Con una entrada ordenada, el pivote es siempre el mínimo, así que un lado queda vacío y el otro tiene n − 1 elementos, lo que da O(n²).

Respuesta

B · Un array que ya está ordenado
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(n log n)

Por qué esta es la respuesta

log(n!) ≤ n log n, y los n / 2 factores mayores dan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); por eso la ordenación por comparaciones necesita Ω(n log n).

Respuesta

C · Θ(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

A · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

B · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista EF

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. GB (1)
2. BC (2)
3. AB (5)
4. EF (6)
5. GD (13)
6. CE (15)

arista número 4

EF

Respuesta

arista EF

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