Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué cualquier búsqueda basada en comparaciones en un array ordenado necesita Ω(log n) comparaciones en el peor caso?

  1. AUn árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
  2. BCada elemento debe compararse al menos una vez
  3. CCada comparación tarda un tiempo logarítmico
  4. DLa búsqueda binaria es el único algoritmo posible, y necesita log₂ n comparaciones
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué método de resolución de colisiones almacena las claves que colisionan en una lista dentro de la misma cubeta?

  1. AEncadenamiento separado (separate chaining)
  2. BSondeo lineal (linear probing)
  3. CDoble hash (double hashing)
  4. DSondeo cuadrático (quadratic probing)
4.Estructuras de datosDifícil

En el algoritmo de Kruskal para el árbol de expansión mínima, ¿para qué se usa la estructura union-find?

  1. APara ordenar las aristas por peso
  2. BPara almacenar la distancia actual de cada vértice al origen durante la búsqueda
  3. CPara elegir el vértice inicial
  4. DPara comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1139101081493ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Por el teorema maestro, nlog₂ 2 = n domina al trabajo constante, así que T(n) = Θ(n), como al hallar un máximo dividiendo en mitades.

Respuesta

A · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Cada comparación reduce como mucho a la mitad el conjunto de posibilidades restantes, así que distinguir n posiciones necesita al menos log₂ n comparaciones.

Respuesta

A · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Encadenamiento separado (separate chaining)

Por qué esta es la respuesta

El encadenamiento mantiene una lista enlazada (u otra estructura) por cubeta; el direccionamiento abierto busca otra posición libre dentro de la propia tabla.

Respuesta

A · Encadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados

Por qué esta es la respuesta

Find indica si ambos extremos están en la misma componente; si no lo están, se añade la arista y union fusiona las componentes.

Respuesta

D · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 1, C: 13
2. B (1): C: 10, D: 11, E: 4
3. E (4): F: 13
4. C (10)
5. D (11)
6. F (13)

ronda 4

C

Respuesta

C

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