Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  2. BElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
  3. COrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  4. DEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál de estos problemas de satisfacibilidad se sabe que es resoluble en tiempo polinómico?

  1. ASAT general sobre fórmulas en forma normal conjuntiva
  2. BLa satisfacibilidad de circuitos
  3. C3-SAT, donde cada cláusula tiene exactamente tres literales
  4. D2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUn árbol binario de búsqueda
  2. BUn recorrido de grafo
  3. CUna cola de tamaño fijo
  4. DUna función hash
4.Estructuras de datosDifícil

En un búfer circular, front == rear puede significar que está vacío o que está lleno. ¿Cuál es una forma habitual de distinguirlo?

  1. AGuardar front y rear en la misma variable
  2. BVaciar siempre el búfer cuando front es igual a rear, de modo que el estado sea vacío
  3. CHacer que el tamaño del búfer sea una potencia de dos
  4. DMantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
151019183134511ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 5; las aristas descartadas no cuentan.

k = 5
  1. 1arista AC
  2. 2arista BC
  3. 3arista CE
  4. 4arista DE
  5. 5arista DF
  6. 6arista EF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GD
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

A · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales

Por qué esta es la respuesta

2-SAT está en P (tiempo lineal mediante componentes fuertemente conexas), mientras que 3-SAT es NP-completo.

Respuesta

D · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

C · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar

Por qué esta es la respuesta

Con un contador, vacío significa count = 0 y lleno significa count = capacidad; con una posición vacía, lleno se define como (rear + 1) mod n == front.

Respuesta

D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 24

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24

Respuesta

L = 24

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. DF (3)
2. GB (4)
3. GD (5)
4. BC (10)
5. GE (11)
6. AC (15)

arista número 5

GE

Respuesta

arista GE

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