Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase P es correcta?

  1. AProblemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
  2. BProblemas cuyas soluciones pueden comprobarse, pero nunca hallarse, en tiempo polinómico
  3. CProblemas que necesitan tiempo exponencial en cualquier ordenador
  4. DProblemas que pueden resolverse en paralelo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo funciona extract-min en un min-heap binario?

  1. ASe mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)
  2. BSe elimina la raíz y se desplazan todos los elementos una posición a la izquierda
  3. CSe buscan en todas las hojas el nuevo mínimo
  4. DSe elimina el último elemento del arreglo
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALos valores hash deben ser números primos
  2. BLas claves iguales deben tener valores hash iguales
  3. CValores hash iguales implican claves iguales
  4. DLas claves distintas deben tener valores hash distintos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
5152678543ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

P contiene los problemas de decisión con un algoritmo determinista de tiempo polinómico, como comprobar si un grafo es conexo.

Respuesta

A · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Se mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)

Por qué esta es la respuesta

El último elemento ocupa el hueco de la raíz y se intercambia con su hijo menor hasta que se cumple la propiedad de montículo, lo que cuesta O(log n).

Respuesta

A · Se mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

B · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 19

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 5
C (5): B: 20, E: 11, G: 9
G (9): B: 14, D: 12
E (11): F: 19
D (12)
B (14)
F (19)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 19

Respuesta

d(F) = 19

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