Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BBúsqueda en profundidad (DFS)
  3. CAlgoritmo de Kruskal
  4. DBellman-Ford es necesario en todos los casos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda binaria no da un tiempo O(log n) en una lista simplemente enlazada?

  1. ALas comparaciones entre nodos de una lista enlazada son más lentas
  2. BLa búsqueda binaria necesita al menos el doble de memoria
  3. CLlegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
  4. DLas listas enlazadas no pueden ordenarse
3.Estructuras de datosMedia

En un min-heap binario almacenado en un arreglo (con índices desde 0), los hijos del nodo en el índice i están en:

  1. Ai + 1 e i + 2
  2. B2i y 2i + 1
  3. Ci/2 e i/2 + 1
  4. D2i + 1 y 2i + 2
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. AReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  2. BSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
  3. CMueve el nodo accedido a una hoja
  4. DRecolorea los nodos del camino de búsqueda
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
191134211716ABCDEF

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 5; las aristas descartadas no cuentan.

k = 5
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

A · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice

Por qué esta es la respuesta

La búsqueda binaria necesita acceso O(1) al elemento central; en una lista enlazada, llegar hasta él cuesta tiempo lineal, así que el total es O(n).

Respuesta

C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 2i + 1 y 2i + 2

Por qué esta es la respuesta

En arreglos indexados desde 0, el hijo izquierdo está en 2i + 1, el hijo derecho en 2i + 2 y el padre en ⌊(i − 1)/2⌋.

Respuesta

D · 2i + 1 y 2i + 2
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista EF

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. DE (1)
2. CE (2)
3. BC (3)
4. AC (11)
5. EF (16)

arista número 5

EF

Respuesta

arista EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms