Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo estándar de programación dinámica para la subsecuencia común más larga de dos cadenas de longitudes m y n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la mochila 0/1 resuelto con programación dinámica requiere un tiempo O(nW). ¿Por qué se llama pseudopolinómico?

  1. APorque solo funciona para W = 0
  2. BPorque el algoritmo es aleatorizado y su tiempo de ejecución varía con cada entrada
  3. CPorque n siempre es pequeño
  4. DW es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  3. CPara mantener la lista ordenada
  4. DPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. AMueve el nodo accedido a una hoja
  2. BReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  3. CRecolorea los nodos del camino de búsqueda
  4. DSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(mn)

Por qué esta es la respuesta

La tabla tiene (m + 1)(n + 1) celdas y cada una se calcula en O(1) a partir de sus vecinas.

Respuesta

B · O(mn)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W

Por qué esta es la respuesta

El tiempo de ejecución es polinómico en el valor de W pero exponencial en su longitud (log W bits); la mochila 0/1 es NP-completa.

Respuesta

D · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 3

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Respuesta

N = 3

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