Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo de Dijkstra con un montículo binario en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el coste de insertar un elemento en medio de un arreglo de n elementos?

  1. AO(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
  2. BO(n²), porque cada elemento se mueve n veces
  3. CO(log n), por la búsqueda binaria
  4. DO(1), porque se conoce el índice
4.Estructuras de datosDifícil

Para cada elemento de un arreglo quieres el siguiente elemento mayor a su derecha, en un tiempo total O(n). ¿Qué estructura ayuda?

  1. AUna tabla hash con todos los elementos
  2. BUna cola que contiene todos los pares de elementos
  3. CUna pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
  4. DUn árbol binario de búsqueda reconstruido para cada elemento
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
118201215810216ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 5.

inicio: Ck = 5
  1. 1arista AC
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista EF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GD

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Por el teorema maestro, nlog₂ 2 = n domina al trabajo constante, así que T(n) = Θ(n), como al hallar un máximo dividiendo en mitades.

Respuesta

C · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O((V + E) log V)

Por qué esta es la respuesta

Hay V operaciones extract-min y hasta E operaciones decrease-key, cada una O(log V); un montículo de Fibonacci lo mejora a O(E + V log V).

Respuesta

D · O((V + E) log V)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos situados después del punto de inserción se mueven una posición a la derecha, lo que lleva un tiempo proporcional a n.

Respuesta

A · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta

Por qué esta es la respuesta

Recorriendo de izquierda a derecha, se desapila cada elemento de la pila menor que el actual (el actual es su respuesta) y luego se apila este; cada elemento se mueve como máximo dos veces.

Respuesta

C · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices impares

A, B, C, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista EF

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AC (1)
2. GC (2)
3. GB (10)
4. CE (12)
5. EF (8)
6. DE (15)

arista número 5

EF

Respuesta

arista EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms