Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  2. BEl problema puede resolverse en tiempo constante
  3. CEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  4. DTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué dos cosas hay que demostrar para probar que un problema de decisión X es NP-completo?

  1. AQue X está en P y que X se reduce a SAT
  2. BQue X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
  3. CQue X se reduce a un problema de P y que X está en NP
  4. DQue X no tiene algoritmo polinómico y que X es decidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ALas claves existentes se ordenan en su sitio
  2. BSolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
  3. CSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  4. DSe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué podría un servidor elegir su función hash al azar de entre una familia universal?

  1. APara que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
  2. BPara eliminar la necesidad de redimensionar la tabla
  3. CPara garantizar que dos claves nunca puedan colisionar, sean cuales sean las claves que envíe un atacante
  4. DPara que la tabla hash quede ordenada
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
511761391115ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice A. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.

inicio: Ak = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

A · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

La pertenencia a NP muestra que X no es más difícil que NP; la reducción desde un problema NP-completo conocido muestra que X es al menos tan difícil como todo NP.

Respuesta

B · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

C · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas

Por qué esta es la respuesta

Con hashing universal, el número esperado de colisiones es pequeño para cualquier conjunto de claves, ya que el atacante no sabe qué función se eligió.

Respuesta

A · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista CE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AB (5)
2. BC (1)
3. CE (6)
4. EF (11)
5. DF (9)

arista número 3

CE

Respuesta

arista CE

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