Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué dos cosas hay que demostrar para probar que un problema de decisión X es NP-completo?

  1. AQue X está en P y que X se reduce a SAT
  2. BQue X se reduce a un problema de P y que X está en NP
  3. CQue X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
  4. DQue X no tiene algoritmo polinómico y que X es decidible
3.Estructuras de datosMedia

En un min-heap binario almacenado en un arreglo (con índices desde 0), los hijos del nodo en el índice i están en:

  1. A2i y 2i + 1
  2. Bi/2 e i/2 + 1
  3. Ci + 1 e i + 2
  4. D2i + 1 y 2i + 2
4.Estructuras de datosDifícil

Debes conservar los k valores más pequeños de un flujo de n números usando O(k) de memoria. ¿Qué enfoque funciona en un tiempo O(n log k)?

  1. AUn arreglo ordenado con los n valores
  2. BUna cola FIFO con los últimos k valores
  3. CUn max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
  4. DUn min-heap que contiene los n valores, del que se extraen al final los k menores
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
121310413451513ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

La pertenencia a NP muestra que X no es más difícil que NP; la reducción desde un problema NP-completo conocido muestra que X es al menos tan difícil como todo NP.

Respuesta

C · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 2i + 1 y 2i + 2

Por qué esta es la respuesta

En arreglos indexados desde 0, el hijo izquierdo está en 2i + 1, el hijo derecho en 2i + 2 y el padre en ⌊(i − 1)/2⌋.

Respuesta

D · 2i + 1 y 2i + 2
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor

Por qué esta es la respuesta

La raíz del max-heap es el mayor valor conservado; cualquier valor nuevo menor la sustituye en O(log k), así que el montículo siempre contiene los k menores vistos hasta el momento.

Respuesta

C · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 23

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 41 = 2(L + 10) − 2
L = 23

Respuesta

L = 23

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 12, C: 13
2. B (12): D: 16, E: 25
3. C (13)
4. D (16): E: 20, F: 21
5. E (20)
6. F (21)

ronda 5

E

Respuesta

E

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