Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. AEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
  2. BSe ejecuta en tiempo O(1)
  3. CSigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  4. DDevuelve 0 automáticamente
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué cota es correcta para log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto se tarda en comprobar si existe la arista (u, v) con una matriz de adyacencia?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Estructuras de datosDifícil

El algoritmo de Kahn para la ordenación topológica elimina repetidamente los vértices con grado de entrada 0. ¿Qué estructura contiene esos vértices?

  1. AUn max-heap ordenado por grado de salida
  2. BUna cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
  3. CUna pila de todas las aristas visitadas
  4. DUna matriz de adyacencia que registra qué vértices ya se han eliminado
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
510481619121115176ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

C · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Θ(n log n)

Por qué esta es la respuesta

log(n!) ≤ n log n, y los n / 2 factores mayores dan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); por eso la ordenación por comparaciones necesita Ω(n log n).

Respuesta

A · Θ(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(1)

Por qué esta es la respuesta

La entrada de la fila u y la columna v indica de inmediato si la arista existe; con una lista de adyacencia puede ser necesario recorrer los vecinos de u.

Respuesta

A · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0

Por qué esta es la respuesta

Los vértices listos se guardan en una cola; eliminar uno reduce el grado de entrada de sus vecinos, y los que llegan a 0 se añaden, lo que da un tiempo O(V + E).

Respuesta

B · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices impares

B, C, D, E → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 45

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (4): tomar
AB (5): tomar
GE (6): tomar
CE (8): tomar
BC (10): tomar
GB (11): descartar, cierra un ciclo
EF (12): tomar

Peso total

W = 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 = 45

Respuesta

W = 45

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