Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuánto espacio de pila usa una función factorial recursiva sencilla fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La ordenación topológica solo es posible en:

  1. AGrafos con pesos negativos
  2. BGrafos completos
  3. CGrafos no dirigidos
  4. DGrafos dirigidos acíclicos (DAG)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué método de resolución de colisiones almacena las claves que colisionan en una lista dentro de la misma cubeta?

  1. ADoble hash (double hashing)
  2. BEncadenamiento separado (separate chaining)
  3. CSondeo lineal (linear probing)
  4. DSondeo cuadrático (quadratic probing)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. AReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  2. BRecolorea los nodos del camino de búsqueda
  3. CMueve el nodo accedido a una hoja
  4. DSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 26 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 26
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de B a D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

La recursión alcanza n llamadas de profundidad antes de que ninguna termine, y cada llamada necesita un marco de pila, así que usa O(n) espacio.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Grafos dirigidos acíclicos (DAG)

Por qué esta es la respuesta

Existe un orden topológico si y solo si el grafo dirigido no tiene ciclos; se puede encontrar en O(V + E) con DFS o con el algoritmo de Kahn.

Respuesta

D · Grafos dirigidos acíclicos (DAG)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Encadenamiento separado (separate chaining)

Por qué esta es la respuesta

El encadenamiento mantiene una lista enlazada (u otra estructura) por cubeta; el direccionamiento abierto busca otra posición libre dentro de la propia tabla.

Respuesta

B · Encadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 26 − 19 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Respuesta

N = 1

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