Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo de Bellman-Ford en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la parada demuestra que:

  1. ATodo programa acaba deteniéndose
  2. BNingún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
  3. CAlgunos programas se ejecutan más rápido en ordenadores más rápidos, así que la parada depende del hardware
  4. DHay que evitar los bucles
3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

  1. AOrdenar números
  2. BBúsquedas por prefijo, como el autocompletado
  3. CAlmacenar matrices
  4. DEncontrar caminos más cortos
4.Estructuras de datosDifícil

Las claves 5, 3, 8, 1 se insertan en este orden en un min-heap binario vacío basado en un arreglo. ¿Cuál es el arreglo final?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
413151811817ABCDE

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.

inicio: Ck = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(V × E)

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las V − 1 rondas relaja las E aristas, lo que da O(VE); a cambio, admite pesos de arista negativos.

Respuesta

B · O(V × E)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene

Por qué esta es la respuesta

Turing demostró que el problema de la parada es indecidible: suponer que existe un decisor lleva a una contradicción con un programa que hace lo contrario.

Respuesta

B · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · [1, 3, 8, 5]

Por qué esta es la respuesta

Tras 5, 3, 8 el arreglo es [3, 5, 8]; 1 va al índice 3, se intercambia con su padre 5 y luego con 3, lo que da [1, 3, 8, 5].

Respuesta

B · [1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

B, C, D, E → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista AC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. CE (11)
2. DE (8)
3. AC (13)
4. AB (4)

arista número 3

AC

Respuesta

arista AC

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