Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En el problema de selección de actividades, ¿qué regla voraz da siempre el número máximo de actividades que no se solapan?

  1. AElegir primero la actividad con menos solapamientos y repetir con las compatibles
  2. BElegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
  3. CElegir la actividad que empieza antes
  4. DElegir primero la actividad más corta
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Para demostrar que un problema nuevo X es NP-difícil, ¿qué hay que hacer?

  1. AReducir en tiempo polinómico X a un problema NP-difícil conocido
  2. BDemostrar que X no tiene algoritmo polinómico para entradas pequeñas
  3. CReducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
  4. DDemostrar que X puede verificarse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CEn el índice 2i + 1
  4. DEn el índice i − 1
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALas claves iguales deben tener valores hash iguales
  2. BLos valores hash deben ser números primos
  3. CValores hash iguales implican claves iguales
  4. DLas claves distintas deben tener valores hash distintos
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
112934519710ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 6; las aristas descartadas no cuentan.

k = 6
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista EF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GD

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles

Por qué esta es la respuesta

Puede demostrarse con un argumento de intercambio que elegir la que termina antes es óptimo; las demás reglas tienen contraejemplos.

Respuesta

B · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X

Por qué esta es la respuesta

Si un problema difícil conocido puede transformarse eficientemente en X, un algoritmo rápido para X resolvería también el problema conocido.

Respuesta

C · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

A · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. AB (1)
2. CE (3)
3. DE (4)
4. EF (5)
5. GC (7)
6. BC (9)

arista número 6

BC

Respuesta

arista BC

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