Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ALas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
  2. BSe ha demostrado que P ≠ NP
  3. CNP significa «no polinómico»
  4. DTodo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  2. BQue ningún nodo tenga dos hijos
  3. CBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
  4. DQue las claves se almacenen en orden de inserción
4.Estructuras de datosDifícil

En un búfer circular, front == rear puede significar que está vacío o que está lleno. ¿Cuál es una forma habitual de distinguirlo?

  1. AVaciar siempre el búfer cuando front es igual a rear, de modo que el estado sea vacío
  2. BHacer que el tamaño del búfer sea una potencia de dos
  3. CGuardar front y rear en la misma variable
  4. DMantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 10 vértices y 10 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 10|E| = 10
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1511102894411ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

D · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

D · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

A · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar

Por qué esta es la respuesta

Con un contador, vacío significa count = 0 y lleno significa count = capacidad; con una posición vacía, lleno se define como (rear + 1) mod n == front.

Respuesta

D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

10 − 1 = 9

Aristas que quitar

k = 10 − 9 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: B

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 11
2. C (11): E: 19
3. B (15): D: 17
4. D (17): F: 21
5. E (19)
6. F (21)

ronda 3

B

Respuesta

B

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