Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo de ordenación es estable?

  1. AQuicksort (versión in situ habitual)
  2. BMerge sort
  3. COrdenamiento por selección (versión habitual)
  4. DHeap sort
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
  4. DΘ(n³)
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué recorrer un arreglo suele ser en la práctica mucho más rápido que recorrer una lista enlazada de la misma longitud?

  1. ALos elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
  2. BLas listas enlazadas siempre almacenan los elementos en disco
  3. CRecorrer un arreglo es O(1) en total, mientras que recorrer una lista enlazada es O(n)
  4. DLos arreglos usan menos instrucciones para comparar valores
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. AValores hash iguales implican claves iguales
  2. BLos valores hash deben ser números primos
  3. CLas claves iguales deben tener valores hash iguales
  4. DLas claves distintas deben tener valores hash distintos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
37154113121010ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Merge sort

Por qué esta es la respuesta

Merge sort es estable si, en caso de empate, la mezcla toma primero de la mitad izquierda. Quicksort in situ, heap sort y el ordenamiento por selección no suelen ser estables.

Respuesta

B · Merge sort
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, nlog₂ 7 domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n2,81.

Respuesta

C · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU

Por qué esta es la respuesta

La memoria contigua ofrece una buena localidad de referencia, mientras que los nodos enlazados pueden estar dispersos y provocar muchos fallos de caché.

Respuesta

A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

C · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 3, C: 7
2. B (3): G: 15
3. C (7): E: 11
4. E (11): F: 24
5. G (15): D: 25
6. F (24)
7. D (25)

ronda 3

C

Respuesta

C

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