Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Ordenas una vez un array de n elementos y después respondes a k consultas de pertenencia con búsqueda binaria. ¿Cuál es el coste total?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  2. BElegir siempre el primer elemento
  3. COrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
  4. DUsar recursión solo en el lado izquierdo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos se usa para comprobar si los paréntesis de "{[()]}" están equilibrados?

  1. AUna cola
  2. BUn árbol binario de búsqueda
  3. CUna tabla hash
  4. DUna pila
4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

  1. AEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
  2. BNo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
  3. CLa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
  4. DEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
2517114189ABCDEF

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 5; las aristas descartadas no cuentan.

k = 5
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n log n + k log n)

Por qué esta es la respuesta

Ordenar cuesta O(n log n) y cada consulta O(log n); esto supera a k recorridos lineales (O(nk)) cuando k es grande.

Respuesta

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una pila

Por qué esta es la respuesta

Se hace push de cada paréntesis de apertura y pop cuando aparece uno de cierre; este debe coincidir con el que se saca y la pila debe quedar vacía al final.

Respuesta

D · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

C · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista EF

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. BC (1)
2. AB (2)
3. DE (4)
4. BD (7)
5. EF (9)

arista número 5

EF

Respuesta

arista EF

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