Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué calcula el algoritmo de Floyd-Warshall y con qué rapidez?

  1. ALos caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
  2. BUn árbol de expansión mínima en O(E log V)
  3. CLos caminos más cortos desde un vértice origen hasta todos los demás en O(V + E)
  4. DUn orden topológico en O(V²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  2. BSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
  3. CSí, porque ambos son exponenciales
  4. DNo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria utiliza una matriz de adyacencia para un grafo con V vértices?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura permite calcular el máximo de cada ventana de tamaño k de un arreglo en un tiempo total O(n)?

  1. AUna deque que guarda índices en orden decreciente de valor
  2. BUn arreglo ordenado actualizado mediante desplazamientos
  3. CUna lista simplemente enlazada con los elementos de la ventana
  4. DUn min-heap reconstruido para cada ventana
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
51515106123412ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(D) del camino más corto de A a D en el grafo ponderado.

inicio: Afin: D
d(D) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

Por qué esta es la respuesta

Floyd-Warshall es un algoritmo de programación dinámica que permite por turnos que cada vértice sea punto intermedio, con un tiempo O(V³).

Respuesta

A · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

D · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Una matriz de adyacencia almacena V × V entradas, lo cual es eficiente para grafos densos; las listas de adyacencia usan O(V + E), mejor para grafos dispersos.

Respuesta

A · O(V²)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor

Por qué esta es la respuesta

El frente de la deque es siempre el máximo de la ventana; cada índice entra en la deque y sale de ella una vez, así que el trabajo es lineal.

Respuesta

A · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices impares

A, C, E, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(D) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 5
B (5): C: 20, D: 20
C (20): E: 30, G: 23
D (20): F: 26
G (23)
F (26)
E (30)

Camino más corto

A → B → D
d(D) = 20

Respuesta

d(D) = 20

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