Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuántos niveles tiene la recursión de merge sort para un array de n elementos?

  1. AUnos n
  2. BUnos log₂ n
  3. CUnos n / 2
  4. DUnos √n
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre seleccionar el k-ésimo elemento más pequeño de un array no ordenado es correcta?

  1. ALa selección solo es posible en O(n²)
  2. BLa selección siempre necesita Ω(n log n) porque requiere ordenar
  3. CQuickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
  4. DQuickselect se ejecuta en O(log n) en el peor caso, porque solo hace recursión en un lado del pivote
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  3. CPara mantener la lista ordenada
  4. DPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
4.Estructuras de datosDifícil

Un nodo AVL está desequilibrado porque el subárbol derecho de su hijo izquierdo ha quedado demasiado alto (caso izquierda-derecha). ¿Qué corrección se aplica?

  1. AUna rotación simple a la izquierda en el nodo
  2. BUna rotación simple a la derecha en el nodo
  3. CUna rotación a la derecha en el hijo izquierdo y luego una rotación a la izquierda en el nodo
  4. DUna rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
14157912010ABCDE

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Unos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Dividir por la mitad de n hasta 1 lleva unos log₂ n niveles, y cada nivel hace un trabajo de mezcla O(n), lo que da O(n log n).

Respuesta

B · Unos log₂ n
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

Por qué esta es la respuesta

El trabajo esperado de quickselect es n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivotes aleatorios; elegir como pivote una mediana de medianas hace lineal el peor caso.

Respuesta

C · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo

Por qué esta es la respuesta

La primera rotación convierte el caso izquierda-derecha en un caso izquierda-izquierda, que luego corrige una rotación a la derecha en el nodo desequilibrado.

Respuesta

D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices impares

C, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 31

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

CE (1): tomar
BC (7): tomar
BD (9): tomar
BE (10): descartar, cierra un ciclo
AB (14): tomar

Peso total

W = 1 + 7 + 9 + 14 = 31

Respuesta

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms