Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. ASigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  2. BEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
  3. CDevuelve 0 automáticamente
  4. DSe ejecuta en tiempo O(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ANo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
  2. BNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  3. CSí, así que la cota inferior es errónea
  4. DSí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué método de resolución de colisiones almacena las claves que colisionan en una lista dentro de la misma cubeta?

  1. ADoble hash (double hashing)
  2. BEncadenamiento separado (separate chaining)
  3. CSondeo cuadrático (quadratic probing)
  4. DSondeo lineal (linear probing)
4.Estructuras de datosDifícil

Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?

  1. ARecolorear el nodo y su hijo
  2. BUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
  3. CUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo
  4. DUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 9 vértices y 14 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1212149541014ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E
d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

A · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Encadenamiento separado (separate chaining)

Por qué esta es la respuesta

El encadenamiento mantiene una lista enlazada (u otra estructura) por cubeta; el direccionamiento abierto busca otra posición libre dentro de la propia tabla.

Respuesta

B · Encadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

Por qué esta es la respuesta

En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.

Respuesta

D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

9 − 1 = 8

Aristas que quitar

k = 14 − 8 = 6

Respuesta

k = 6
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 26

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 12
B (12): C: 24, D: 26, E: 26
C (24)
D (26): F: 30
E (26)
F (30)

Camino más corto

A → B → E
d(E) = 26

Respuesta

d(E) = 26

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