Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AEl problema puede resolverse en tiempo constante
  2. BUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  3. CTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  4. DEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué algoritmo encuentra un árbol de expansión mínima añadiendo repetidamente la arista más barata que no forme un ciclo?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BFloyd-Warshall
  3. CAlgoritmo de Prim empezando desde un nodo
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. AUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  2. BAlmacenan los datos sin ordenar
  3. CNo necesitan rebalanceo
  4. DSu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 3
L =
6.Teoría de grafosDifícil
181183619209ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Kruskal

Por qué esta es la respuesta

Kruskal ordena las aristas por peso y las añade si conectan componentes distintas; Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial.

Respuesta

A · Algoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

B · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

D · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Respuesta

L = 6

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 48

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (3): tomar
CE (6): tomar
BC (8): tomar
BE (9): descartar, cierra un ciclo
AC (11): tomar
AB (18): descartar, cierra un ciclo
DE (19): descartar, cierra un ciclo
DF (20): tomar

Peso total

W = 3 + 6 + 8 + 11 + 20 = 48

Respuesta

W = 48

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