Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. ALa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  2. BMerge sort ya es O(n)
  3. CMerge sort no tiene estructura recursiva
  4. DSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Para demostrar que un problema nuevo X es NP-difícil, ¿qué hay que hacer?

  1. AReducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
  2. BDemostrar que X no tiene algoritmo polinómico para entradas pequeñas
  3. CDemostrar que X puede verificarse en tiempo polinómico
  4. DReducir en tiempo polinómico X a un problema NP-difícil conocido
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. AAlmacena las claves sin orden
  2. BNo usa memoria adicional
  3. CBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
  4. DBúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1510447613ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X

Por qué esta es la respuesta

Si un problema difícil conocido puede transformarse eficientemente en X, un algoritmo rápido para X resolvería también el problema conocido.

Respuesta

A · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

C · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 21

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Respuesta

L = 21

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 9

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 1
C (1): B: 6, G: 2
G (2): D: 5
D (5): E: 9, F: 9
B (6)
E (9)
F (9)

Camino más corto

A → C → G → D → F
d(F) = 9

Respuesta

d(F) = 9

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