Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para j = 1 hasta i: hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuáles son los costes de tiempo y espacio de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con un bucle que guarda solo los dos últimos valores?

  1. ATiempo O(n) y espacio O(1)
  2. BTiempo O(n) y espacio O(n)
  3. CTiempo O(2ⁿ) y espacio O(1)
  4. DTiempo O(log n) y espacio O(n)
3.Estructuras de datosMedia

Una aplicación necesita búsquedas rápidas y además listar las claves en orden y responder consultas por rangos. ¿Qué estructura encaja mejor?

  1. AUna lista enlazada sin ordenar
  2. BUn árbol binario de búsqueda balanceado
  3. CUna pila
  4. DUna tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

En un búfer circular, front == rear puede significar que está vacío o que está lleno. ¿Cuál es una forma habitual de distinguirlo?

  1. AGuardar front y rear en la misma variable
  2. BVaciar siempre el búfer cuando front es igual a rear, de modo que el estado sea vacío
  3. CHacer que el tamaño del búfer sea una potencia de dos
  4. DMantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 16 vértices y 22 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 16|E| = 22
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1391814175ABCDE

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 3; las aristas descartadas no cuentan.

k = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El cuerpo interior se ejecuta n(n + 1) / 2 veces en total, lo que sigue siendo cuadrático.

Respuesta

D · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Tiempo O(n) y espacio O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada paso necesita solo los dos valores anteriores, así que la tabla del método ascendente puede sustituirse por dos variables.

Respuesta

A · Tiempo O(n) y espacio O(1)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Un árbol binario de búsqueda balanceado

Por qué esta es la respuesta

Un BST balanceado ofrece búsquedas en O(log n) y mantiene las claves ordenadas, así que el recorrido en orden y las consultas por rangos son sencillos; una tabla hash dispersa las claves.

Respuesta

B · Un árbol binario de búsqueda balanceado
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar

Por qué esta es la respuesta

Con un contador, vacío significa count = 0 y lleno significa count = capacidad; con una posición vacía, lleno se define como (rear + 1) mod n == front.

Respuesta

D · Mantener un contador de elementos aparte, o dejar siempre una posición sin usar
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

16 − 1 = 15

Aristas que quitar

k = 22 − 15 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista DE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (1)
2. BE (5)
3. DE (7)
4. AC (9)

arista número 3

DE

Respuesta

arista DE

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