Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 20
  2. BUnas 100
  3. CUnas 500,000
  4. DUnas 1,000
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de programación dinámica de Held-Karp resuelve exactamente el problema del viajante. ¿Cuál es su tiempo de ejecución para n ciudades?

  1. AO(n³)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n!)
  4. DO(2n²)
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice 2i + 1
  2. BEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CEn el índice i − 1
  4. DEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Estructuras de datosDifícil

El algoritmo de Kahn para la ordenación topológica elimina repetidamente los vértices con grado de entrada 0. ¿Qué estructura contiene esos vértices?

  1. AUn max-heap ordenado por grado de salida
  2. BUna matriz de adyacencia que registra qué vértices ya se han eliminado
  3. CUna pila de todas las aristas visitadas
  4. DUna cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 14 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 14
k =
6.Teoría de grafosDifícil
62713131239414ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

A · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n² 2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

Hay unos n 2ⁿ estados, y cada uno se calcula en O(n); es exponencial, pero mucho más rápido que probar los (n − 1)! recorridos.

Respuesta

B · O(n² 2ⁿ)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0

Por qué esta es la respuesta

Los vértices listos se guardan en una cola; eliminar uno reduce el grado de entrada de sus vecinos, y los que llegan a 0 se añaden, lo que da un tiempo O(V + E).

Respuesta

D · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 14 − 13 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 6, C: 2
C (2): E: 9, G: 11
B (6): G: 9
E (9): D: 22, F: 21
G (9): D: 13
D (13)
F (21)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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