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1Fórmulas y métodos
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
2Problemas de práctica
1.Algoritmos y complejidadMedia
Ordenas una vez un array de n elementos y después respondes a k consultas de pertenencia con búsqueda binaria. ¿Cuál es el coste total?
AO(k n log n)
BO(nk)
CO(n + k)
DO(n log n + k log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil
El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?
ASí, así que la cota inferior es errónea
BNo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
CNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
DSí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
3.Estructuras de datosMedia
¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?
A2h + 1
B2h+1 − 1
Ch2
D2h
4.Estructuras de datosDifícil
Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?
AUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
BRecolorear el nodo y su hijo
CUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo
DUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
4 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos de longitud 3 van de E a A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 3
N =
3Disoluciones
1.Algoritmos y complejidad
Respuesta: D · O(n log n + k log n)
Por qué esta es la respuesta
Ordenar cuesta O(n log n) y cada consulta O(log n); esto supera a k recorridos lineales (O(nk)) cuando k es grande.
Respuesta
D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos y complejidad
Respuesta: C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
Por qué esta es la respuesta
La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.
Respuesta
C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos
Respuesta: B · 2h+1 − 1
Por qué esta es la respuesta
Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.
Respuesta
B · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos
Respuesta: D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
Por qué esta es la respuesta
En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.
Respuesta
D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 23
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 49 = 2(L + 14) − 2
L = 23
Respuesta
L = 23
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: N = 2
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.