Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. AMerge sort ya es O(n)
  2. BLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  3. CMerge sort no tiene estructura recursiva
  4. DSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se clasifica el problema del viajante?

  1. ALa versión de decisión está en P, pero la de optimización es NP-completa
  2. BLa versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
  3. CEstá en P porque el algoritmo de Dijkstra lo resuelve visitando cada ciudad una vez
  4. DEs indecidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se encuentra la clave mínima en un árbol binario de búsqueda?

  1. AVisitar todas las hojas y compararlas
  2. BSeguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
  3. CMirar solo la raíz
  4. DSeguir los hijos derechos desde la raíz hasta que no haya hijo derecho
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura permite calcular el máximo de cada ventana de tamaño k de un arreglo en un tiempo total O(n)?

  1. AUn min-heap reconstruido para cada ventana
  2. BUna lista simplemente enlazada con los elementos de la ventana
  3. CUna deque que guarda índices en orden decreciente de valor
  4. DUn arreglo ordenado actualizado mediante desplazamientos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
151689191018122ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 6.

inicio: Ck = 6
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GD

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

«¿Hay un recorrido de longitud como mucho k?» es NP-completo; hallar el recorrido más corto es NP-difícil, porque es al menos igual de difícil.

Respuesta

B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda no tiene ninguna clave menor en el árbol, así que es el mínimo; el coste es proporcional a la altura.

Respuesta

B · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor

Por qué esta es la respuesta

El frente de la deque es siempre el máximo de la ventana; cada índice entra en la deque y sale de ella una vez, así que el trabajo es lineal.

Respuesta

C · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista DE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. BC (8)
2. BD (9)
3. GD (2)
4. DF (10)
5. AB (15)
6. DE (19)

arista número 6

DE

Respuesta

arista DE

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